☛ Plongée sous marine : une plongée sous pression !

Énoncé

La pression est une force exercée par unité de surface. Cette force peut s'exprimer en \(\text{kg/cm}^2\) ou en bars (unité utilisée les plongeurs).

Au niveau de la mer (0 mètre d'altitude), la pression atmosphérique est de 1 bar. C’est le poids de l’air sur la terre. En immersion (sous-l'eau), la pression de l’eau s’ajoute à la pression atmosphérique. Cette pression de l'eau est appelée pression relative. Tous les 10 mètres de profondeur, 1 bar de pression relative s'ajoute.

On appelle pression absolue la somme de la pression atmosphérique et de la pression relative.
              \(\begin{equation}\boxed{\begin{array}{rcl}\text{pression atmosphérique(air)+pression relative (eau)=pression absolue} \end{array}}\end{equation}\)
                \(\)Par exemple, à 20 mètres de profondeur, la pression absolue est :
\(1 + \dfrac{20}{10} = 3\)
La pression absolue est de 3 bars à 20 mètres de profondeur.

1. Lorsqu'un plongeur est immergé à 38 m de profondeur, quelle pression absolue subit-il ?

2. On sait que les coques des sous-marins nucléaires sont conçues pour résister à des profondeurs de 1 200 mètres environ. Quelle est alors la pression absolue subie par la coque ?

On modélise la pression absolue, en fonction de la profondeur, par une fonction affine \(p\).   

3. a. Exprimer la pression absolue \(p(x)\), en bars, en fonction de la profondeur \(x\), en mètres.
    b. Préciser le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite représentative de \(p\).

4. Une implosion se produit lorsque la pression exercée sur un objet devient trop forte. C'est notamment le cas dans les profondeurs marines. L'épave du Titanic a ainsi implosé en partie. Elle se trouve à une profondeur telle que \(p (x) =383\ \text{bars}\). Déterminer cette profondeur en mètres.

Solution

1. \(1 + \dfrac{38}{10} = 4,8\). La pression absolue à 38 mètres est de 4,8 bars.

2. \(1 + \dfrac{1~200}{10} = 121\). La pression absolue à 1 200 mètres est de 121 bars.

3. a.  \(p(x) = 1 + \dfrac{x}{10}\).

    b. On note \(m\) le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine. On a  \(m = \dfrac{1}{10} = 0,1\) et \(p = 1\).

4 . On cherche la valeur de \(x\) telle que \(p(x)\) est égal à 383 . On résout ainsi l'équation suivante.

 \(\begin{align} &p(x) = 383 \\ &1 + \dfrac{x}{10} = 383 \\&  \dfrac{x}{10}=383-1\\&x={382}\times{10}\\&x=3~820\end{align}\)

L'épave du Titanic se situe à une profondeur de 3 820 mètres.